Résistance à l'avancement d'une carène de bateau : composantes, nombre de Froude et calcul

La résistance à l'avancement d'une carène de bateau est la force, en newtons, qui s'oppose à sa route : l'hélice devra fournir une poussée égale pour tenir la vitesse visée. Nous la décomposons en résistance visqueuse, résistance de vagues et résistance aérodynamique. Le nombre de Froude, Fn = V/√(g·L_f), nous dit laquelle domine, selon que le navire se traîne, navigue dans sa vague ou plane.

Les rides d'un plan d'eau : la coque d'un navire en dessine un système, et chaque crête emporte de l'énergie.

Au sommaire :

• Les composantes de la résistance
• Longueur d'onde et nombre de Froude
• Les régimes de vagues
• La méthode de calcul, et Heliciel

1 : Résistance de frottement, de vagues et aérodynamique d'une coque

La résistance à l'avancement pourrait se mesurer en remorquant le navire. Or on ne remorque pas un navire qui n'est pas encore construit. Il faut donc une méthode pratique, accessible au dessinateur et au constructeur, qui donne des éléments concrets pour dimensionner l'appareil propulsif.

Il est commode de décomposer la résistance hydrodynamique totale, Rh, en trois parts :

1. la résistance visqueuse (Rv), qui se compose de la résistance de frottement, liée à la surface mouillée et à sa rugosité, et de la résistance de pression, liée à la forme de la carène et aux remous qu'elle génère ;
2. la résistance de vagues (Rw), qui dépend de la vitesse du navire et de sa longueur ;
3. la résistance aérodynamique (Ra) des superstructures exposées au vent, que nous considérons ici comme négligeable.

Cette idée d'étudier séparément les trois résistances revient à Froude. La séparation est discutable, car les composantes interagissent : une vague le long de la carène modifie la surface mouillée, donc le frottement. Mais si nous évaluons cette interaction en distinguant les régimes de vagues, elle donne des résultats exploitables pour dessiner les carènes.

2 : Formule du nombre de Froude et longueur d'onde des vagues

La longueur L entre deux crêtes d'une vague (en mètres) et sa vitesse V (en mètres par seconde) sont liées par :

V / √(9,81 × L) = 0,4, soit L = (V/0,4)² / 9,81, ou encore L = (2π / 9,81) × V²

Une vague de longueur d'onde L (crête à crête), de hauteur H (creux à crête), qui avance à la vitesse V.

L'énergie contenue dans une vague s'écrit E = (1/8) × ρ × 9,81 × H² × L, avec ρ la masse volumique de l'eau en kg/m³, H et L en mètres, pour chaque mètre de largeur de crête. Elle permet d'estimer l'énergie absorbée par des vagues observées.

Les vagues créées par le navire avancent à sa vitesse. En remplaçant V par la vitesse du bateau dans la relation précédente, nous obtenons la distance L entre deux crêtes des vagues qu'il produit. Si nous remplaçons ensuite L par la longueur de flottaison L_f, Froude en déduit le nombre qui mesure l'effet des vagues sur la résistance : le nombre de Froude, Fn = V / √(9,81 × L_f), avec V la vitesse du bateau en m/s et L_f la longueur de flottaison en m. Il nous renseigne sur la forme des vagues qui accompagnent le navire.

La figure suivante place le régime de vagues et la résistance spécifique Rh/Δ en fonction de Fn, pour plusieurs types de navires. Δ est le déplacement, soit 9,81 × masse volumique × volume immergé, en newtons.

Résistance spécifique Rh/Δ en fonction de Fn. Plus le navire est rapide et léger, plus Rh/Δ est élevée : des pétroliers (Fn faible) aux coques planantes (Fn supérieur à 0,7, L > 3 L_f).

3 : Résistance de vagues d'un bateau selon la vitesse (Fn)

Fn inférieur à 0,4. La longueur d'onde L reste inférieure à la longueur de flottaison L_f.

Fn < 0,4 : plusieurs crêtes longent la coque, la longueur d'onde L est plus courte que L_f.

Aux faibles nombres de Froude, inférieurs à 0,26, au moins trois crêtes de faible hauteur longent le bateau. La résistance de vagues est peu importante, et le frottement représente de 70 à 90 % de la résistance à l'avancement (valeurs de l'auteur du document source). Au-delà de 0,26, la résistance de vagues augmente, et l'interaction entre la vague d'étrave et la vague d'arrière joue un rôle significatif. Elle ajoute ou retranche de la hauteur de crête. Voyons-la de près.

Le navire engendre deux trains de vagues : les vagues d'étrave, qui naissent à l'étrave, et les vagues d'arrière, créées par l'aspiration de l'eau à l'arrière, qui naissent à l'arrière et commencent par un creux. Comme l'énergie d'une vague croît avec le carré de sa hauteur, la résistance de vagues est d'autant plus forte que le système de vagues présente des creux profonds. Quand les vagues se cumulent, la résistance monte ; quand elles s'annulent, elle baisse. Elle présente donc des pics et des creux.

• Si L_f est un multiple entier de L, une crête de la vague d'étrave se superpose au creux du système né à l'arrière et l'annule. La résistance passe par un minimum.
• Si L_f est un multiple impair de L/2 (L_f = L/2, ou L_f = 3 × L/2), la vague d'étrave présente un creux à l'arrière du navire, qui se cumule avec la vague arrière. La résistance passe par un maximum.

Deux cas d'interaction : L_f = 3 × L/2 (Fn = 0,301, résistance maximale) et L_f = 2 × L (Fn = 0,266, résistance minimale).

Ces cas remarquables correspondent à une série de nombres de Froude, que les deux figures suivantes situent sur la forme de la vague et sur la courbe de résistance de vagues. Elles sont issues du document source de l'auteur : la relation simple de la section précédente donnerait des valeurs voisines (Fn de 0,28 pour L_f = 2 L et de 0,33 pour L_f = 3 L/2), mais pas identiques.

Le profil de la vague le long de la coque pour Fn = 0,301, 0,357 et 0,461, avec la position de la première crête repérée à droite.

La résistance de vagues en fonction de la vitesse : bosses à Fn = 0,241, 0,301 et 0,461, creux à 0,266 et 0,357.

Fn égal à 0,4. La longueur d'onde est égale à la longueur de la carène, et la vague d'arrière est annulée par la vague d'étrave. C'est la vitesse limite théorique pour laquelle la carène a été dessinée. Le navire navigue dans sa vague : une crête à l'avant, une crête à l'arrière, le creux au milieu. Au-delà, la résistance de vagues augmente fortement.

Fn = 0,4 : L = L_f, une crête à chaque extrémité et un creux au milieu.

Fn entre 0,4 et 0,5. Le navire remonte sur sa crête d'étrave, tandis que le creux se rapproche de l'arrière. La carène bascule, et un angle α apparaît. C'est la situation la plus défavorable. Selon l'auteur, la résistance de vagues peut y atteindre 85 % de la résistance totale, et la courbe monte en flèche jusqu'à un maximum vers Fn = 0,461. L'angle augmente en outre la surface frontale du navire.

Fn > 0,4 : la coque monte sur sa crête d'étrave et prend un angle α.

Fn supérieur à 0,5. Le navire se trouve sur la crête de la vague d'étrave et dégage son avant, en retrouvant une position horizontale. C'est le domaine des coques planantes des navires légers. Une surface plate à l'arrière prend appui sur la vague sans l'enfoncer, pour tenir le maximum de coque hors de l'eau. La résistance de vagues diminue fortement. Le régime planant franc commence vers Fn = 0,7, quand la longueur d'onde dépasse trois fois L_f.

Fn > 0,7 : la coque plane sur sa vague, L > 3 L_f.

4 : Comment calculer la résistance d'une carène avec Heliciel

Considérons un plan d'eau calme et infini, sans résistance aérodynamique. La méthode globale suit ces étapes :

• calcul de la surface mouillée ;
• calcul du déplacement du navire ;
• calcul du nombre de Froude ;
• estimation du régime de vagues ;
• estimation de l'angle d'assiette du navire ;
• estimation de la traînée résiduaire par la méthode de Savitsky ;
• calcul de la résistance visqueuse, c'est-à-dire du frottement et de la résistance de pression (de forme).

Pour aller plus loin, nous pouvons suivre le didacticiel Vagues de navire et traînée de carène, étudier les performances d'une coque, ou voir comment la poussée obtenue sert à dimensionner une hélice de bateau.